美國德州(Texan, US)出生的電腦工程師約翰L凱利(John L. Kelly)在 1956 年寫的一篇名為《A New Interpretation of Information Rate》的論文中,發表了一串以自己為名的公式。

一開始沒有太大的迴響,但在後來卻被《他是賭神,更是股神》(A Man for All Markets: From Las Vegas to Wall Street, How I Beat the Dealer and the Market)作者愛德華索普(Edward O. Thorp)發揚光大,陸續應用在賭場和股市,都曾獲利豐碩;甚至連知名的億萬富翁投資者華倫巴菲特(Warren Buffett)也是這個公式的推廣者。然而,年僅41歲就因腦溢血而死於曼哈頓人行道上的凱利,卻據說從未使用該公式來賺錢。

賭徒們緊接著也發現了自己常面臨的一大問題:要弄清楚他們的資金應該要在每個賭注上押多少。因為,無論是賭注太多或者太少都會對整體長期盈利產生巨大影響。

如何決定一個賭注的價值?

雖然大多數玩家相信他們的直覺,但更多時候他們會需要一些信心。這時候就需要一些方法可以讓人冷靜下來相信的,充滿數學和概率的世界,或者更準確地說,就是凱利公式。

凱利公式是一個資金管理公式,計算出當真實賠率和給定賠率之間存在差異時,你應該投注的最佳金額。投資人應該要在對自己有利的情況下下大注,對自己不利時,下小注或乾脆不下注,長期累積下來,就有機會大賺小賠。只要經過連續投資,計算出勝率與報酬率,就知道每次下賭注多少,才能讓自己的獲利金額最大化。雖然文字可能看起來令人困惑,但實際上非常簡單。

公式如下:

公式的運算沒有特別複雜

    f = 下注的銀行資金的分數

    b = 小數點後的賠率-1

    p = 贏錢的概率

    q = 輸的概率,也就是1-p

讓我們把這個公式用更實際一點的例子來解釋:拋出的骰子落在1、2或3的機會是50%;同樣地,4、5或6的結果也是50%。但是想象一下,如果同樣的骰子被灌鉛了,那麽它落在1、2或3上的幾率現在是60%。

這意味著B=2-1,也就是1;p = 0.60;q = 1 – 0.60 = 0.40。最終計算的結果就會是:(1 × 0.60 – 0.40) ÷ 1 = 0.2。

因此,根據這個公式,你會被建議要押上你銀行資金的20%。如果骰子的偏差較小,為53%,凱利標準建議押6%。

如果你投注過多(超過20%),很有可能最終會破產。相反,投注不足(低於20%)應該產生適度的利潤。對凱利公式的使用者來說,認真遵守其結果才真的有機會完成每個博彩者都希望達成的長遠目標,換句話說就是將你的資本增長率最大化。

凱利公式的目的就是將你的資本增長率最大化

套用在體育博彩上呢?

現在我們假設西雅圖海鷹隊(Seattle Seahawks)將在超級盃(Super Bowl)中與丹佛野馬隊(Denver Broncos)對決。這是一場勢均力敵的交鋒,海鷹隊在博彩交易所以 1.9 的賠率略微領先,賠率顯示他們有 52.6% 的獲勝機會。

然而,你的分析表明,海鷹隊的真實賠率要低得多,你認為他們只有 55% 的機率可能捧起文斯·隆巴迪獎盃(Vince Lombardi),換算成賠率大約是 1.8 左右。

使用凱利標準,計算結果是:

    b = 1.9 – 1

    p = 0.55

    q = 0.45

    (0.9 × 0.55 – 0.45) ÷ 0.9 = 0.05

一個正的百分比意味著有利的賠率。因此,你應該將5%的資金投注在海鷹隊身上。

然而,需要注意的是,只有當f>0(銀行存款的分數大於0)時,你才應該下注。如果計算結果是零或負數,這意味著凱利公式的建議是你最好什麽都不要下注,忘掉這件事然後離開,因為這個賠率對你不有利。一樣以海鷹隊這場比賽為例子的話,如果在你的評估裡,海鷹隊的賠率是 2.0,而不是前面的1.9,那麽凱利公式算出來的結果就會是:

    (0.9 × 0.5 – 0.5) ÷ 0.9 = -5.55

總結來說,凱利公式被廣泛認為是一種聰明和有紀律的賭注策略。不過有一個潛在的缺點需要注意,那就是你需要準確地評估每一個選擇獲勝的百分比機會,所以即便使用公式計算完後,仍就要依照自己的判斷跟其他資訊來考慮是否真的要投注,這才會是真的明智之舉。
投資的成功機率有多大,事前當然無法得知,但若能套用凱利公式的話,在決定投資的當下,就能獲得重要的參考標準。然而,如果你覺得算這些數學真的太難了,現在你甚至可以在網路上找到不少方便的凱利公式計算機來方便你作這一切工作。